1. Das Problem der Würfelverdopplung

Aus Überlieferungen der griechischen Antike ist bekannt, dass Kegelschnitte bereits in dieser Zeit bekannt waren und intensiv diskutiert wurden – insbesondere im Zusammenhang mit dem Problem der Würfelverdopplung, neben der "Quadratur des Kreises" und der "Winkeldrittelung" eines der drei berühmten Geometrie-Probleme der antiken Mathematik:

Zu einem gegebenen Würfel der Kantenlänge a soll, allein unter Nutzung von Zirkel und Lineal, ein weiterer Würfel konstruiert werden, der das Volumen 2a³ besitzt.

Zur Lösung dieses Problems geht es also darum, die Seite x des "Ziel"-Würfels vom Volumen 2a³ konstruktiv zu bestimmen.


Durch Hippokrates von Chios (ca. 470–ca. 410 v. Chr.) wurde um die Mitte des 5. Jahrhunderts v. Chr. das Würfelverdopplungsproblem in das dazu äquivalente Problem der Ermittlung der beiden mittleren Proportionalen x und y zu den zwei gegebenen Längen a und 2a überführt:

Zu gegebenem Wert a sind Zahlen x und y so zu bestimmen, dass a : x = x : y = y : 2a gilt.

(Durch Umformungen überzeugt man sich, dass diese zwei Proportionen a : x = x : y und a : x = y : 2a einer kubischen Gleichung entsprechen: durch Multiplikation erhält man zunächst ay = x² (bzw. y = x² : a) und 2a² = xy woraus durch Einsetzen der ersten in die zweite Gleichung folgt: 2a² = x⋅x² : a, d. h. 2a³ = x³ wobei x die zu bestimmende Kantenlänge des "Ziel"-Würfels ist.)

Die Aufgabe der Würfelverdoppelung führte mithin auf das Lösen einer kubischen Gleichung – auf die Beschäftigung mit Kurven, die ihr entsprechen.

2. Kurven und ihre "Symptome"

In der griechischen Mathematik wurden Kurven durch ihre "Symptome" angeben – durch Bedingungen, die einen Punkt charakterisieren, der auf der Kurve liegt.

Zum Beispiel: Eine Parabel entsteht durch den rechtwinkligen Schnitt an einem geraden Kreiskegel mit einem rechten Öffnungswinkel:



In der Abbildung wird die Schnittebene durch die Punkte A, Q und R charakterisiert, der Öffnungswinkel ist der Winkel ∠GAP.

Der griechische Mathematiker Menaichmos (ca. 380–ca. 320 v.Chr.) leitete als Symptom der Parabel ab, dass für jeden Punkt der Kurve mit konstantem, Punkt-unabhängigem Wert p, gilt.

Analog lässt sich das Symptom der Ellipse als einem rechtwinkligen Schnitt an einem spitzwinkligen geraden Kreiskegel ableiten. Geht man von einem stumpfwinkligen Kreiskegel aus, so kommt man auf das Symptom der Hyperbel.

Zurück zum Problem der Würfelverdopplung: Menaichmos konnte nachweisen, dass die Suche nach Werten x und y, die der Proportion a : x = x : y = y : 2a genügen, gleichwertig ist mit der Frage nach dem Schnitt der Kurven der Parabel y = x² : a und der Hyperbel xy = 2a². Kegelschnitte lassen sich also als beschreibendes, erläuterndes ''Werkzeug'' im Zusammenhang mit der Frage der Würfelverdopplung auffassen.

Übrigens: Heute wissen wir natürlich, dass das Problem der Würfelverdopplung allein mit Zirkel und Lineal (d.h. mit Hilfe einer Einheitsstrecke und der Möglichkeit, beliebige rationale Vielfache davon abzutragen) nicht lösbar ist. Die Seitenlänge des "Ziel"-Würfels hat die Länge x=³√2a, was aus dem Bereich der rationalen Zahlen herausführt: ³√2a ist ja kein rationales Vielfaches von a.

Schwerer nachzuweisen, inzwischen aber ebenfalls gelungen, ist die Unlösbarkeit der beiden anderen klassischen Geometrie-Probleme. Literaturtipp: Chr. Scriba e.a., 5000 Jahre Geometrie, Springer Berlin, Heidelberg, Wien 2002.

3. Kegelschnitte und ihre Eigenschaften in der antiken griechischen Mathematik

Untersuchungen zu Eigenschaften der Kegelschnitte lassen sich weit zurückverfolgen. Aristaios (ca. 370–ca. 300 v. Chr.) und auch Euklid (ca. 325–ca. 265 v. Chr.) verfassten (verloren gegangene) Bücher über Kegelschnitte. Archimedes berechnete insbesondere den Flächeninhalt von Parabelsegment und Ellipse.

Eine entscheidende Verallgemeinerung der Überlegungen findet sich bei Appolonius von Perge (ca. 262–ca. 190 v. Chr.). Er behandelte in seinem aus acht Büchern bestehenden Werk ''KONIKA'' systematisch beliebige ebene Schnitte an einem Kreiskegel, also nicht mehr nur Schnitte im rechten Winkel zur Kegelmantelerzeugenden. (Aus dem Griechischen: κονυσ = Kegel.)

Auch für die Tatsache, dass bereits in der griechischen Mathematik praktische Fragestellungen durchaus eine Rolle spielten, findet sich im Zusammenhang mit Untersuchungen zu Kegelschnitten ein Beispiel: Diokles (ca. 240–ca. 180 v. Chr.) (also ein Zeitgenosse von Appolonius) beschrieb die Konstruktion eines Brennspiegels zu vorgegebener Brennweite unter Nutzung von Resultaten aus dem Gebiet der Kegelschnitte. (Der beschriebene Spiegel hat die Gestalt eines Drehparaboloids.)

Es kann angenommen werden, dass zu der Zeit von Appolonius und Diokles das Wissen über Kegelschnitte bereits zum mathematischen Grundwissen gehörte.