Hyperbeln liefern auf interessante Weise die Möglichkeit, den Flächeninhalt von ebenen Polygonen mechanisch zu bestimmen – nur durch geschicktes Einpassen der zu berechnenden Fläche in eine Schar von Hyperbelästen, die in ein ebenes, rechtwinkliges Koordinatensystem geeigneter Skalierung eingezeichnet sind. Gemeint sind sog. Hyperbeltafeln, die im Vermessungswesen und der Kartographie etwa schon vor 100 Jahren genutzt wurden. (Siehe Arbeitsblatt Hyperbeltafel.) Die nebenstehend abgebildete Hyperbeltafel der Firma M. Kloth (Osnabrück, vermutl. 1914) ist, wie ihre Gebrauchsspuren zeigen, zumindest als Demonstrationsmittel im Unterricht an der Universität in Halle, eifrig gebraucht worden. (Vermessungskunde lässt in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts in Vorlesungsverzeichnissen als Lehrgebiet für Studierende der Mathematik an der Universität Halle nachweisen.) Neben diesem anwendenden Umgang mit Hyperbeln finden sich in der historischen Sammlung aber auch Spuren für den mathematisch-inhaltlichen, zugleich aber auch handgreiflichen Umgang mit Hyperbeln, wie die hier abgebildeten Hyperbelschablonen (Aufgabe 1) zeigen – als große, punzierte Messingschablone für den Wandtafelgebrauch und als kleine Blechschablone für den Gebrauch durch die einzelnen Studierenden.

Das Zweikörperproblem beinhaltet die Aufgabe, die Bahnbewegung eines einzelnen Himmelskörpers um sein Schwerezentrum zu beschreiben, wobei vorausgesetzt wird, dass sich nur diese beiden Körper durch Gravitation beeinflussen. Als mögliche Bahnen (nach Johannes Kepler, der sich mit dieser Problematik beschäftigte, heute auch als Keplerbahnen bezeichnet) kommen, in Abhängigkeit von der jeweiligen Gesamtenergie, Kreise, Ellipsen, Parabeln und auch Hyperbeln in Frage.
Die mathematische Untersuchung von Hyperbeln als speziellen Kegelschnitten dagegen reicht bis in die Antike zurück. Mit den Namen von Euklid (ca. 325–265 v. Chr.) und Aristaeus (ca. 370–300 v. Chr.) sind Überlegungen zu den allgemeinen Eigenschaften von Hyperbeln verbunden. In den berühmten Conica des Appolonius (ca. 262–190 v. Chr.) findet sich dann erstmalig die Untersuchung beider Hyperbeläste und darüber hinaus auch die uns heute geläufige Bezeichnungsweise.