Ostern 1874

Mathematische Arbeiten

von

E.E. Wiltheiß

1) Es ist zu beweisen, daß in der Gleichung x^{2} + px + q = 0 das Produkt der beiden Wurzeln gleich dem letzten Glied q ist und daß die Summe der Wurzeln gleich dem mit entgegengesetztem Vorzeichen genommenen Coefizienten p von x ist.

Beweis: Man sieht die Wurzeln der Gleichung:

x^{2} + px = −q; x^{2} + px + \frac{p^{2}}{4} = \frac{p^{2}}{4} − q; x + \frac{p^{2}}{4} = ±\sqrt{\frac{p^{2}}{4} − q}, x = −\frac{p^{2}}{2} ± \sqrt{\frac{p^{2}}{4} − q}.

Also sind die beiden Wurzeln

x′ = −\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^{2}}{4} − q}; x′′ = −\frac{p}{2} − \sqrt{\frac{p^{2}}{4} − q}

Man vervielfacht beide Wurzeln miteinander

x′x′′ = [−\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^{2}}{4} − q}] · [−\frac{p}{2} − \sqrt{\frac{p^{2}}{4} − q}] =

(−\frac{p}{2})^{2} − (\sqrt{\frac{p^{2}}{4} − q})^{2} = \frac{p^{2}}{4} − \frac{p^{2}}{4} + q = q.

Also ist x′x′′ = q. Zählt man beide Wurzeln zueinander, so streichen sich \sqrt{\frac{p^{2}}{4} − q}, weil sich beide Wurzeln

nur um die Vorzeichen von \sqrt{\frac{p^{2}}{4} − q} unterscheiden:

x′ + x′′ = (−\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^{2}}{4} − q}) + (−\frac{p}{2} − \sqrt{\frac{p^{2}}{4} − q}) = −2 · \frac{p}{2}

Also ist auch x′ + x′′ = −p.

2) Es haben mehrere Freunde für eine Partie 432 fl. Da zwei von ihnen frei gehalten werden, so wird dadurch der Beitrag eines jeden um 3 fl vermehrt. Wie viel Freunde und wie viel hat jeder zu bezahlen?

Auflösung: Es wären x Freunde, und jeder hatte y fl bezahlen müssen, so würden sie, wenn jeder seinen Beitrag gäbe, xy fl bezahlen. Also

xy = 432  (I)

Es bezahlen aber nur (x − 2) Personen und jede von diesen aber (y + 3) fl, also zusammen

(x − 2)(y + 3) = 432  (II)

Die Klammern der Gleichung (II) aufgelöst:

xy − 2y + 3x − 6 = 432.

In diese Gleichung den Werth von y aus Gleichung (I) eingesetzt:

(y = \frac{432}{x}); \frac{x · 432}{x} − \frac{2 · 432}{x} + 3x − 6 = 432

oder vereinfacht

x^{2} − 2x = 288 x = 1 ± \sqrt{288 + 1} = 1 ± 17; x = 18

denn negative n Personen kann es nicht geben. Den Werth von x in Gleichung (I) eingesetzt

y · 18 = 432, y = 24.

Es waren also \underline{18} Freunde und jeder hatte \underline{24} fl zu bezahlen. ^{1}

3) Es ist zu beweisen, warum nur eine beschränkte Anzahl regelmäßiger Figuren zur Bildung einer körperlichen Ecke benutzt werden können.

Beweis:

Die Kantenwinkel, welche eine Ecke bilden, sind zusammen kleiner als 4R., und dies muß man zuerst beweisen. Man läßt die n-seitige Ecke S durch die Ebene abcd schneiden und bezeichnet der Kürze wegen die Kantenwinkel um S mit v und die Winkel Sad + Sab + Sba + Sbc... mit s, so ist s > (n − 2)2R. Denn von je 3 Winkel, welche eine Ecke bilden, sind 2 größer als der dritte, also ist Sad + Sab > dab; Sba + Sbc > abc; u.s.w. Die Winkel Sad + Sab + Sba + Sbc... = s und dab + abc.... sind die Winkel des n Ecks, welches durch die Ebene abcd entsteht, also gleich (n − 2)2R. Folglich s > (n − 2)2R.

Die Winkel s + v = n · 2R. Denn es sind ja die 3 Winkel von n Dreiecken. Setzt man nun in s > 2nR − 4R statt 2 · nR = s + v: s > s + v − 4R oder 4R + s > s + v oder 4R > v d.h. die Winkel um eine Ecke kleiner 4R.

1Korrektur des Lehrers: Da aber 2 Freunde kein Geld hatten, mußte jeder von den 16 übrigen 27 fl.

zahlen.

S a  b c d

Es ist nun jeder Winkel in einem regelmäßigen Dreieck 60^{∘}. Es können daher 3, 4, 5 regelmäßige Dreiecke eine Ecke bilden, denn der Summenwinkel ist kleiner als 4R. Aber nicht 6, denn sie würden 360^{∘} bilden. Ebenso 3 regelmäßige Vierecke, aber nicht 4 oder mehr, und 3 regelmäßige 5Ecke, allein nicht mehr. Regelmäßige 7 u. 8Ecke nicht, denn je 3 Winkel bilden zusammen mehr als 360, und aus zwei [Flächen] kann keine Ecke entstehen.

4) In einem schiefwinkligen Dreieck sind gegeben b = 71, 577, c = 87, 811 und der Winkel A = 40^{∘}36′. Es sollen die anderen Stücke bestimmt werden.

Auflösung Die Formel ist: tg\frac{C−B}{2} = \frac{c−b}{c+b} cot \frac{A}{2}

a  c  b

Die Werte eingesetzt:

tg\frac{C − B}{2} = \frac{87, 811 − 71, 577}{87, 811 + 71, 577} cot 20^{∘}18
= \frac{16, 234}{159, 388} cot 20^{∘}18′.
log 16, 234 = 1, 2104255
log cot 20^{∘}18 = \underline{10, 4319025}
11, 6423280
log 159, 388 = \underline{2, 2024556}
log tg\frac{C − B}{2} = 9, 4398724

\frac{C − B}{2} = 15^{∘}23′40′′
C = 85^{∘}5′40′′
B = 54^{∘}18′20′′

Um die Seite a zu berechnen gebraucht man die Formel:

a : c = sin A : sin C

a = \frac{c sin A}{sin C},

oder die Werte eingesetzt

a = \frac{87, 811 · sin 40^{∘}36′}{sin 85^{∘}5′40′′}
log 87, 811 = 1, 9435489
log sin 40^{∘} = \underline{9, 8134303}
11, 7569792
log sin 85 = \underline{9, 9984063}
log a = 1, 7585729
a = 57, 3552

Die fehlenden Stücke sind a = 57, 3552, B = 54^{∘}18′20′′, C = 85^{∘}5′40′′ 5) Es sollen die zur vorgehenden Aufgabe nöthigen Formeln gefunden werden. Auflösung:

................... a  b c h

Wir fällen in einem beliebigen Dreieck die Höhe h, dann ist

h = b sin A = a sin B, also a : b = sin A : sin B

(Dies ist die \underline{zweite} Formel zur vorhergehenden Aufgabe), zählen 1 hinzu und 1 ab und dividieren sie in einander:

\frac{a + b}{b} = \frac{sin A + sin B}{sin B}
u. \frac{a − b}{b} = \frac{sin A − sin B}{sin B} , u. also
\frac{a − b}{a + b} = \frac{sin A − sin B}{sin A + sin B}
= \frac{2 cos \frac{A+B}{2} sin \frac{A−B}{2}}{2 sin \frac{A+B}{2} sin \frac{A−B}{2}}
= \begin{matrix}tg & \frac{A−B}{2} \\ tg & \frac{A+B}{2} \end{matrix}
\frac{a − b}{a + b} = \begin{matrix}tg & \frac{A−B}{2} \\ tg & \frac{A+B}{2} \end{matrix}

tg\frac{A + B}{2} = cotg\frac{C}{2} , denn \frac{A + B}{2} = 90 − \frac{C}{2} .

\frac{a − b}{a + b} = \begin{matrix}tg & \frac{A−B}{2} \\ ctg & \frac{C}{2} \end{matrix} ,

also ist

tg\frac{A − B}{2} = \frac{a − b}{a + b}cotg\frac{C}{2}

Es ist dies die erste Formel der vorigen Aufgabe. 6) Es leiht ein Staat eine Summe von 1570000 fl zu 4 1/2 %, welche Summe muß er jährlich bezahlen um die Schuld in 70 Jahren zu tilgen. Auflösung: Die Aufgabe ist eine zusammengesetzte Rabattrechnung, die Formel dazu heißt:

A = \frac{100}{p} a [1 − (\frac{100}{100 + p})^{n}]

A = 1570000; p = 4, 5 n = 70

1570000 = \frac{100 · a}{4, 5} [1 − (\frac{1000}{1045})^{70}]
a = \frac{1570000 · 4, 5}{100 [1 + (\frac{1000}{1045})^{70}]}
a = \frac{1570 · 45}{1 − (\frac{1000}{1045})^{70}}
(\frac{1000}{1045})^{70} = 0, 045905
a = \frac{1570 · 45}{0, 954095} = 74049, 2

74049,2 ist also die jährliche Summe.