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Die Frage nach der Stetigkeit von Funktionen, die durch Reihen von stetigen Funktionen gegeben
sind, die Frage der Darstellbarkeit "beliebiger" Funktionen durch trigonometrische Reihen, die Eindeutigkeit solcher
Darstellungen und ähnliche Fragen haben in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts zur Klärung grundlegender
Begriffe der Mathematik geführt. In diesem Prozeß eingebettet ist Heines Arbeit Über trigonometrische
Reihen, J. reine angew. Math. 71 (1870) 353-365, die einerseits, wie Heine selbst sagt,
durch Untersuchungen von Dirichlet, Riemann und Weierstraß angeregt und beeinflußt worden ist, und die andererseits
Cantor zu seiner ersten mengentheoretischen Arbeit geführt hat.
J. P. G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859) zeigte in seinen Untersuchungen zu hinreichenden
Konvergenzkriterien für Fourierreihen (vergl. Sur la convergence des séries trigonométriques ..., J. reine angew.
Math. 4 (1829) 157-169) den folgenden schönen Satz:
Seine Analyse, die letztendlich zu diesem Satz führte, stand Pate bei unzähligen Untersuchungen des 19.Jahrhunderts.
Dirichlet war übrigens überzeugt, dass eine gleiche Aussage auch gilt, wenn die Funktion unendlich
viele Unstetigkeitsstellen und unendlich viele Minima und Maxima hat, was allerdings nicht richtig ist.
B. Riemann (1826-1866) entwickelte seine bekannte Integrationstheorie insbesondere auch, um den obigen
Dedekindschen Satz zu verallgemeinern. Er gab notwendige und hinreichende Bedingungen für die Darstellbarkeit
einer Function durch eine trigonometrische Reihe, deren Glieder für jeden Argumentwerth zuletzt unendlich klein
werden. Beide Komplexe werden in Riemanns fundamentaler Arbeit Über die Darstellbarkeit einer Function durch
eine trigonometrische Reihe, Abh. Gesell. Wiss. Göttingen, Math. Classe, 13 (1866-1867)
87-132, behandelt. Eine Arbeit, deren Veröffentlichung Dirichlet nach Riemanns Tod auf der Grundlage eines
unvollendet gebliebenen Manuskripts aus dem Jahre 1854 veranlaßt hat. In dieser Arbeit unterschied er auch als
Erster zwischen trigonometrischen Reihen und Fourierreihen.
K. Weierstraß (1815-1897) hat insbesondere durch seine Vorlesungen an der Berliner Universität
in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts den größten Anteil an der Weiterentwicklung der Analysis
in dieser Zeit. In diese Vorlesungen ließ Weierstraß häufig Überlegungen zu seinen neuesten
Forschungsergebnissen einfließen. Dies betrifft insbesondere die
"epsilon-delta-Sprache" der Analysis, die gleichmäßige Konvergenz (oder wie er sagte Konvergenz in gleichem
Grade, ein Begriff der wohl auf den Lehrer von Weierstraß Chr. Gundermann (1798-1852) zurückgeht) von
Funktionenreihen sowie deren gliedweise Differentiation und Integration und frühe topologische Resultate
(z. B. der Satz von Bolzano-Weierstraß). Seine Hörer aus aller Welt, darunter H. A. Schwarz (1843-1921) und
G. Cantor (1845-1918), die später beide Privatdozent in Halle waren,
sorgten durch Weitergabe der Vorlesungsmitschriften für die Verbreitung der neuartigen Weierstraßschen Ideen.
Heine stellt an die Spitze seiner Untersuchungen über trigonometrische Reihen (vergl. J. reine angew. Math.
71 (1870) 353-365) den folgenden Satz, der an den oben zitierten Satz von Dirichlet angelehnt ist und insbesondere unter
Verwendung Riemannscher Ideen bewiesen wird:
Heine erläutert: Der Ausdruck "im allgemeinen" wird hier wie im Folgenden gebraucht, wenn die Ausnahme sich auf
eine endliche Anzahl von Punkten beziehen soll.
Konvergenz "im allgemeinen in gleichem Grade" bedeutet also gleichmäßige Konvergenz mit Ausnahme von endlich
vielen Punkten, also ein Spezialfall der fast überall gleichmäßigen Konvergenz. Über ein Zwischenresultat leitet
Heine daraus die folgende Aussage ab:
(Also: Wenn eine trigonometrische Reihe ...., dann verschwinden alle ....)
Eine Aussage, aus der dann sofort eine hinreichende Bedingung für die Eindeutigkeit der Darstellung
von Funktionen durch trigonometrische Reihen folgt.
Natürlich ergeben sich im Anschluss an den zuletzt zitierten Satz von Heine Fragen nach möglichen
Verallgemeinerungen. Etwa: Wie läßt sich die Forderung nach Konvergenz "im allgemeinen in gleichem Grade"
abschwächen? Braucht man überhaupt eine so starke Konvergenz? Oder: Für welche Mengen von "Ausnahmepunkten"
bleibt die Eindeutigkeit der Darstellung einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe erhalten? Eine Antwort auf
derartige Fragestellungen mußte notwendigerweise mengentheoretisch sein.
Heine hat den jüngeren Cantor frühzeitig mit seinen Untersuchungen über trigonometrische Reihen bekannt gemacht.
In beider Arbeiten finden sich Hinweise auf Anregungen durch den anderen. Insbesondere hat Heine
Cantors Artikel über trigonometrische Reihen initiiert, von denen hier nur Über die Ausdehnung
eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Funktionen, Math. Ann. 5 (1872) 123-132,
hervorgehoben sei. Enthält sie doch neben Cantors Theorie der reellen Zahlen auch seine für die
Mengenlehre grundlegenden Definitionen der Ableitung einer Menge und Menge n-ter Art; sie steht damit am Berginn der
Cantorschen Arbeiten zu mengentheoretischen Grundlagen.
Für eine Menge P von reellen Zahlen heißt nach Cantor die Menge P' aller ihrer Häufungspunkte
erste Ableitung von P. Induktiv definiert Cantor die n-te Ableitung von P durch
P(n) = (P(n-1))' und schließlich ist P eine Menge n-ter Art, wenn P(n+1)
leer ist. Der mit diesem neuen Begriff formulierte Satz bezüglich trigonometrischer Reihen liest sich bei Cantor
folgendermaßen:
Der Beweis auch dieser Aussage beruht wesentlich auf Überlegungen von Riemann. Erwähnt sei noch, daß Felix
Bernstein (1878-1956), W. H. Yuong (1863-1942) und andere den hieraus wiederum folgenden Eindeutigkeitssatz für die
Darstellung von Funktionen durch trigonometrische Reihen weiter verallgemeinert haben.
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