BRANDES geht es zunächst in seiner Promotionsschrift [3] um axiomatische Einfachheit. Er beginnt mit einer kritischen Darstellung der bisherigen Bemühungen, dem Begriff der "Einfachheit eines mathematischen Beweises" eine objektive Grundlage zu geben, um dann auf S. 10 seine Definition der neuen Einfachheit zu geben:

Es sei für eine [...] Gruppe von Beweisen [eines mathematischen Satzes] die Benutzung der Axiome a₁, a₂, ..., a_n vorgeschrieben.
Wir wählen nun aus diesem System von n Axiomen ein bestimmtes Axiom a_x aus und nehmen als Maß der Einfachheit eines Beweises die Zahl der Anwendungen dieses Axioms. Von allen Beweisen, die mit Hilfe der n Axiome geführt sind, ist dann bezüglich des Axioms a_x derjenige der einfachste, der bei einer beliebig häufigen Verwendung der übrigen n-1 Axiome die geringste Zahl der Anwendungen des Axioms a_x benötigt. [...]
Bestimmt man für jedes der n Axiome den axiomatisch einfachsten Beweis, so wird man im allgemeinen n verschiedene "einfachste" Beweise erhalten. Es ist aber möglich, daß diese n verschiedenen Beweise miteinander identisch sind, d. h., daß es einen Beweis gibt, der bezüglich sämtlicher n Axiome der axiomatisch einfachste ist. Existiert ein solcher Beweis, so nennen wir ihn den a b s o l u t einfachsten.

Zerlegungsbeweis nach GÖPEL.

Im umfangreichsten Teil seiner Promotionsschrift zeigt BRANDES, dass die Frage nach der axiomatischen Einfachheit auf e x a k t e m Wege beantwortet werden kann. Dazu betrachtet er beispielhaft die auf Addition beruhenden Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes, bei denen es darauf ankommt, die beiden Kathetenquadrate derart in Dreiecke (oder andere Figuren) zu zerlegen, dass mit ihnen das Hypothenusenquadrat ohne Überlappungen und ohne Lücken ausgelegt werden kann. Über die Jahrhunderte sind viele derartige Beweise entstanden. Die Abbildung auf dieser Seite stellt den 1844 von ADOLPH GÖPEL (1812--?) gegebenen Zerlegungsbeweis dar; vgl. [3]. Dabei hat man nur zu berücksichtigen, dass Teilfiguren mit gleicher Bezeichnung kongruent (was allerdings zu beweisen wäre; alle Zerlegungsgeraden sind parallel bzw. senkrecht zu einer der Dreieckseiten) und damit flächengleich sind. Unterteilt man noch die beiden Vierecke jeweils in zwei Dreiecke, so ist ersichtlich, dass dieser Zerlegungsbeweis mit sieben Dreiecken auskommt. In seinen Betrachtungen legt BRANDES jedoch nicht diesen Zerlegungsbeweis von GÖPEL zu Grunde, sondern einen Zerlegungsbeweis, der im allgemeinen dem arabischen Mathematiker AN NAIRIZI (um 875--940) zugeschrieben wird. Beide Zerlegungsbeweise sind im Wesentlichen identisch, denn beide Figuren lassen sich leicht ineinander überführen. In der Dissertation beweist BRANDES nun, dass es (abgesehen von einigen Spezialfällen) keinen additiven Zerlegungsbeweis mit weniger als sieben Dreiecken gibt und beweist damit die Vermutung seines Lehrers BERNSTEIN, dass unter den additiven Zerlegungsbeweisen des pythagoreischen Lehrsatzes der von AN NAIRIZI bezüglich des ebenen Kongruenzaxioms der axiomatisch einfachste ist.

Dieses Resultat von BRANDES fand breiten Eingang in die zeitgenössische Literatur. Heute wird es vor allem gewürdigt als ein frühes Beispiel, die Komplexität mathematischer Beweise exakt zu beschreiben. Es sei erneut auf [3] verwiesen.