1. Schnitteigenschaften

Schneidet man ein hyperbolisches Paraboloid mit einer Ebene parallel zur xy-Achse, so ergibt sich als Schnittgebilde eine Hyperbel oder als Spezialfall ein Paar einander schneidende Geraden (falls der Kooridnatenursprung auf der Ebene liegt). Aus Schnitten mit Ebenen parallel zur xz-Ebene oder zur yz-Ebene resultieren in jedem Fall Parabeln.

Schneidet man ein hyperbolisches Paraboloid in Normalform-Lage mit der xy-Ebene des Koordinatensystems, so entstehen als Schnittflächen Hyperbeln, deren Berandungen hier wiedergegeben sind. Darüber hinaus kann man Parabeln als Resultate von Schnitten mit der xz-Ebene und der yz-Ebene erkennen.

Hier sind ebenfalls Schnitte parallel zu der xz-Ebene oder der yz-Ebene und die daraus entstehenden Parabeln zu erkennen.

2. Scharen geradliniger Erzeugender

Von der "Klassifizierung" zu den Flächen 2. Ordnung ist bereits bekannt, dass sich auf einem hyperbolischen Paraboloid zwei Scharen von Strecken befinden, welche folgende Eigenschaften besitzen:

• Jedes Paar unterschiedlicher Geraden derselben Schar ist windschief.
• Je zwei Geraden unterschiedlicher Scharen schneiden sich in einem Punkt oder sind parallel.

Die beiden Scharen geradliniger Erzeugender lassen sich durch die Gleichungen


und



angeben, wobei u und v beliebig wählbar sind.

Auf den Abbildungen sind die beiden Geradenscharen gut zu erkennen.

Obwohl nur einige der Geraden durch Fäden realisiert sind, entsteht vor dem Auge des Betrachters die von ihnen erzeugte Fläche. Das folgende Modell zeigt ebenfalls, dass ein paar Geraden genügen, um ein hyperbolisches Paraboloid darzustellen.

Zur besseren Veranschaulichung steht hinter dem folgenden Link ein Applet bereit, in welchem eine der beiden Geradenscharen des hyperbolischen Paraboloids dargestellt ist. Diese kann mit Hilfe der Mouse bewegt und so von allen Seiten betrachtet werden.

3D-Applet Sattelfläche