In der folgenden Abbildung ist links ein gerader Kreiskegel zu sehen. Er besitzt (wie oben definiert) einen Kreis als Grundfläche. Darüber hinaus befindet sich die Spitze genau über dem Mittelpunkt M des Kreises. Durch M und S läuft die Gerade g. Der Winkel zwischen g und der Mantelfläche heißt Öffnungswinkel und wird mit β bezeichnet (in der rechten Abbildung verdeutlicht).



Wenn man einen geraden Kreisdoppelkegel mit einer Ebene E schneidet, so werden die Schnittgebilde als Kegelschnitte bezeichnet. Darunter kann sowohl

• die beim Schnitt einer Ebene mit einem Kegel entstehende Schnittfläche

als auch

• die Randkurve dieser eben beschriebenen Schnittfläche

verstanden werden. An dieser Stelle soll vereinbart werden, dass im nachfolgenden Text immer von der Randkurve die Rede ist.



Entsprechend dem Verhältnis vom Neigungswinkel α der Ebene E zu dem Öffnungswinkel β des Kegels ergeben sich verschiedene Schnittgebilde:

Verhältnis α zu β	Lage von S	Schnittgebilde
α > β	S ∉ E	Ellipse
α = β	S ∉ E	Parabel
0° ≤ α < β	S ∉ E	Hyperbel
α > β	S ∈ E	Punkt
α = β	S ∈ E	Strecke
0° ≤ α < β	S ∈ E	Streckpaar

Die voranstehende Serie eines Kegelmodells und seiner Zerlegungen zeigt, wie ein Kegel zerfällt, der von einer Ebene E geschnitten wird.
Ist der Neigungswinkel α größer ist als der Öffnungswinkel β des Kegels, so ist das Resultat dieses Schnittes eine Ellipse (Abb. 2).
Ist der Neigungswinkel α = 180° (die Schnittebene also parallel zur Grundfläche des Kegels), so ergibt sich ein Kreis als Spezialfall einer Ellipse (Abb. 3)).
Die beiden letzten Bilder zeigen eine Parabel als Ergebnis eines Schnittes mit α = β (Abb. 4) sowie einen Hyperbelast (Abb. 5), wobei in diesem fünften Fall also α < β gilt. (Für eine vollständige Hyperbel mit zwei Ästen wäre ein Doppelkegel-Schnittmodell notwendig.)
Die Sonderfälle mit S ∈ E, d. h. Punkt, Strecke und Streckenpaar als Kegelschnitte, können mit dem Kegelmodell nur bedingt veranschaulicht werden. Punkt und Strecke lassen sich durch entsprechendes Anhalten eines ebenen Blattes Papier an das Kegelmodell verdeutlichen, für den Fall des Streckenpaares ist das Holzmodell nicht vorbereitet. (In diesem Fall müsste ein Schnitt durch den Holzkegel senkrecht zur Grundfläche und durch den Mittelpunkt der Grundfläche sowie durch die Kegelspitze führend vorhanden sein, was bei dem abgebildeten Holzmodell nicht der Falls ist.)

Als ebene Figuren können Kegelschnitte in eine Koordinaten-Ebene eingebettet werden. Damit ergibt sich die Möglichkeit der Charakterisierung durch einen funktionalen Zusammenhang. Benutzt man die gebräuchliche Bezeichnung der Koordinatenachsen durch die Variablen x und y, so lässt sich die allgemeine Kegelschnittgleichung in folgender Form notieren:

.

Einer gegebenen Kegelschnittgleichung kann mit Hilfe der folgenden Tabelle der entsprechende Kegelschnitt zugeordnet werden:

Bedingungen an die Parameter	Kegelschnitt
d2 + e2 ≥ 4af	Kreis
ac – b2 > 0	Ellipse oder Punkt
ac – b2 = 0	Parabel oder Parallelenpaar
ac – b2 < 0	Hyperbel oder Streckenpaar

Im folgenden Applet kann man für verschiedene Parameter a bis f den entsprechenden Kegelschnitt anschauen. Die Tabelle unten zeigt zu jedem Kegelschnitt ein Beispiel für die Parameterwahl auf.

a b c d e f Kreis 1 0 1 0 0 -1 Ellipse 1 0 2 0 0 -1 Punkt 1 0 2 0 0 -0,001 Parabel 1 0 0 0 -0.5 0 Parabelpaar 2 2 2 0 0 -1 Hyperbel 1 2 2 0 0 -1 Streckpaar 1 2 2 1 0 -1