1. Klassifizierung durch Schnittgebilde

Flächen 2. Ordnung können anhand der Schnittgebilde (Kegelschnitte), welche sich beim Schnitt mit den von jeweils zwei Koordinatenachsen aufgespannten Ebenen ergeben, klassifiziert werden. Schneidet man diese Fläche mit den Koordinatenebenen (bzw. dazu parallelen Ebenen) so erhält man Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln und die Spezialfälle Kreis, Geradenpaar bzw. Punkt als Schnittfläche. In der folgenden Tabelle sind den Flächen die charakteristischen Kegelschnitte zugeordnet.

Bezeichnung	Schnitte parallel zu Koordinatenebenen
Ellipsoid	3 Ellipsen
einschaliges Hyperboloid	2 Hyperbeln, 1 Ellipse
zweischaliges Hyperboloid	2 Hyperbeln, 1 Ellipse
elliptisches Paraboloid	2 Parabeln, 1 Ellipse
hyperbolisches Paraboloid	2 Parabeln, 1 Hyperbel
Kegel	2 Hyperbeln, 1 Ellipse

hyperbolisches Paraboloid	zweischaliges Hyperboloid	elliptisches Paraboloid	einschaliges Hyperboloid	Ellipsoid
Videosequenz	Videosequenz	Animation		Videosequenz
				Videosequenz

2. Geraden auf Flächen 2. Ordnung

Auf den Abbildungen ist deutlich zu erkennen, daß es sich bei Flächen 2. Ordnung in der Regel um gekrümmte Flächen handelt. Dennoch enthalten einige dieser Flächen Scharen von Strecken. Bei einem Kegel oder einem Zylinder ist das leicht zu erkennen. So befindet sich auf jedem Kegel eine Schar von Geraden, die durch die Spitze des Kegels gehen.

beweglicher einschaliger Hyperboloid mit Geradenscharen	beweglicher einschaliger Hyperboloid mit Asymptotenkegel	bewegliches hyperbolisches Paraboloid mit Geradenscharen

elliptischer Kegel

Auch auf dem einschaligen Hyperboloid und dem hyperbolischen Paraboloid befinden sich zwei Scharen von Strecken. Verlängert man diese Strecken über ihre Enden hinaus, so gilt für die auf diese Weise erzeugten Geraden Folgendes:

1. Jedes Paar unterschiedlicher Geraden derselben Schar ist windschief.
2. Je zwei Geraden unterschiedlicher Scharen schneiden sich in einem Punkt oder sind parallel.

einschaliger Hyperboloid mit Geradenscharen	hyperbolisches Paraboloid mit Geradenscharen ----- Animation

3. Charakteristische Kenngrößen zur Klassifizierung von Flächen 2. Ordnung

Mit Hilfe der folgenden Vorgehensweise kann man leicht feststellen, welche Fläche 2. Ordnung sich hinter einer gegebenen Gleichung 2. Grades verbirgt. Dazu bestimmt man zuerst die vier Kenngrößen



und  T := ab + bc + ca – d² – e² – f ²  und kann danach im folgenden Graphen die entsprechende Bezeichnung der Fläche 2. Ordnung ablesen.

a b c d e f g h k l imaginäres Ellipsoid -1 -2 -3 0 0 0 0 0 0 -1 Ellipsoid 1 2 3 0 0 0 0 0 0 -1 imaginärer Kegel 1 3 4 0 0 0 0 0 0 0 Kegel 0 3 5 0 0 2 0 0 0 0 einschliges Hyperboloid 1 2 -3 0 0 0 0 0 0 -1 zweischaliges Hyperboloid -1 2 -3 0 0 0 0 0 0 -1 hyperbolisches Paraboloid 2 3 0 0 0 0 0 0 2 0 elliptisches Paraboloid 1 2 0 0 0 0 0 0 4 0 Zylinder 0 0 2 0 0 0 1 0 0 -1 Ebenepaar 0 0 3 0 0 0 0 0 0 -1