Das Fadenmodell besitzt eine große Ähnlichkeit zu einem Sattel, oder? Es zeigt ein hyperbolisches Paraboloid. Will man sich einer solchen Fläche 2. Ordnung mathematisch nähern, so wird zunächst ein Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum benötigt. Die folgende Darstellung deutet ein hyperbolisches Paraboloid (rot eingezeichnet) im Koordinatensystem an.

Das Koordinatensystem scheint 'günstig' gewählt; es werden folgende Bedingungen erfüllt: Die drei aufeinander senkrecht stehenden Achsen des Koordinatensystems sind die Symmetrieachsen des hyperbolischen Paraboloids. Der gemeinsame Schnittpunkt der Koordinatenachsen liegt auf dem hyperbolischen Paraboloid.

Die beschriebene 'günstige Lage' des hyperbolischen Paraboloids bezeichnet man als Normalform (dabei liegt der Koordinatenursprung auf dem hyperbolischen Paraboloid und die Symmetrieachsen entsprechen den Koordinatenachsen). Unter einem hyperbolischen Paraboloid versteht man nun den geometrischen Ort aller Punkte, welche die Gleichung


erfüllen. Diese spezielle Fläche 2. Ordnung wird wegen ihrer charakteristischen Form auch als Sattelfläche bezeichnet. Der Schnittpunkt der Koordinatenachsen heißt Sattelpunkt.

3D-Applet Sattelfläche Animation Hyperbolischer Paraboloid

In der Sammlung historischer mathematischer Modelle des Instituts für Mathematik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg sind folgende Modelle zu hyperbolischen Paraboloiden enthalten:

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