1. Schnitteigenschaften

Schneidet man ein einschaliges Hyperboloid mit einer beliebigen, zur z-Achse parallelen Ebene, so ergibt sich als Schnittgebilde eine Hyperbel oder als Spezialfall ein Paar sich schneidender Geraden. Aus Schnitten mit Ebenen parallel zur xy-Ebene resultieren in jedem Fall Ellipsen.

		Schneidet man ein einschaliges Hyperboloid in Normalform-Lage mit der xy-Ebene des Koordinatensystems, so entstehen Schnittflächen, deren Berandungen hier durch die Messingdraht-Ellipsen wiedergegeben sind. Darüber hinaus kann man Hyperbeln als Resultate von Schnitten mit der xz-Ebene und der yz-Ebene erkennen
Hier sind ebenfalls Schnitte parallel zu der xy-Ebene und die daraus entstehenden Ellipsen zu erkennen.

2. Spezialfall des einschaligen Rotationshyperboloids

Für a=b kann das Hyperboloid durch Rotation einer Hyperbel mit den Halbachsen und um die x-Achse erzeugt werden. In der Gleichung


für die Normalform-Lage des einschaligen Hyperboloids lassen sich die Parameter a, b und c frei wählen. Genügen diese Parameter der Bedingung a=b, so ist das zugehörige einschalige Hyperboloid ein Rotationshyperboloid. Unter einem einschaligen Rotationshyperboloid versteht man ein einschaliges Hyperboloid, das durch die Rotation einer (imaginären) Hyperbel mit der Gleichung


um die z-Achse entsteht.

Auf der folgenden Abbildungen ist ein einschaliger Rotationshyperboloid dargestellt.

Bei dem abgebildeten Fadenmodell eines Rotationshyperboloids lassen sich die obere und die untere Kreisscheibe gegeneinander verschieben, sodass das Hyperboloid mit unterschiedlichen Parametern visualisiert werden kann. Die kleinen Gewichte sorgen dafür, dass die Fäden immer straff gespannt sind.

Sind wenigstens zwei der drei Parameter a, b und c gleich, so liefert ein Ebenenschnitt parallel zu der Koordinatenebene, welche zu den beiden gleichen Parametern gehört, stets einen Kreis.

3. Scharen geradliniger Erzeugender

Von der "Klassifizierung" zu den Flächen 2. Ordnung ist bereits bekannt, dass sich auf einem einschaligen Hyperboloid zwei Scharen von Strecken befinden, welche folgende Eigenschaften besitzen:

• Jedes Paar unterschiedlicher Geraden derselben Schar ist windschief.
• Je zwei Geraden unterschiedlicher Scharen schneiden sich in einem Punkt oder sind parallel.

Die beiden Scharen geradliniger Erzeugender lassen sich durch die Gleichungen


und



angeben, wobei u und v beliebig wählbar sind.

Auf den Abbildungen sind die beiden Geradenscharen gut zu erkennen.

Die folgenden Modelle zeigen, dass ein paar dieser Geraden genügen, um ein einschaliges Hyperboloid darzustellen.



Zur besseren Veranschaulichung steht hinter dem folgenden Link ein Applet bereit, in welchem eine der beiden Geradenscharen des einschaligen Hyperboloids dargestellt ist. Diese kann mit Hilfe der Mouse bewegt und so von allen Seiten betrachtet werden.

3D-Applet Geradenschar