Definition
Unter einer Hyperbel versteht man den geometrischen Ort aller Punkte, für die die Differenz der Abstände von zwei gegebenen festen Punkten konstant gleich 2a ist. Die beiden festen Punkte sind die Brennpunkte der Hyperbel und werden mit der Hyperbel und werden mit F1 und F2 bezeichnet. Ein Punkt P liegt also auf der Hyperbel, wenn die Beziehung |F1 P| – |F2 P| = 2a erfüllt ist. Dieser Sachverhalt ist in der folgenden Abbildung beispielhaft für einen Punkt P angedeutet. Die Schreibweise |F1 P| steht hierbei für die Länge der Strecke zwischen den Punkten F1 und P. Die äußeren senkrechten Striche symbolisieren die Betragsfunktion: Die Gleichung |w – v| = 2a ist für beliebige w und v erfüllt, solange w – v = 2a oder v – w = 2a gilt.
Der Abstand zwischen F1 und P soll mit r1 und der Abstand zwischen F2 und P soll mit r2 bezeichnet werden. Formelmäßig bedeutet dies r1= |F1 P| und r2= |F2 P|. Punkte mit r2 – r1 = 2a dem anderen (in der Abbildung dem rechten) Zweig der Hyperbel. Der Abstand wird als reelle Halbachse und der Abstand als imaginäre Halbachse bezeichnet. Die beiden Brennpunkte F1 und F1 den Abstand 2e, welcher über die Beziehung e=√a2 + b2 bestimmt werden kann.
Die beiden diagonalen Geraden werden auch Asypmtoten genannt: Sie nähern sich der Kurve mit größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nahe an. Die Gleichungen der Asymptoten lauten
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Im folgenden Applet können durch Vorgabe von a und b verschiedene Hyperbeln gezeichnet werden. Unterhalb der Hyperbel sind die Längen der Strecken F1 P und F2 P angegeben, so daß die Brennpunkteigenschaft für verschiedene Punkte der Hyperbel überprüft werden kann.
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In der Sammlung historischer mathematischer Modelle des Fachbereichs Mathematik und Informatik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg sind folgende Modelle zu Hyperbeln enthalten: Modellsammlungsdatenbank